Question

यदि a, b, c तथा d गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो दिखाइए कि (a² + b² + c²) (b² + c² + d²) = (ab + bc + cd)²

Answer 1

a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

इसलिए

bc = ad … (1)

b² = ac … (2)

c² = bd … (3)

यह सिद्ध करना होगा कि,

(a² + b² + c²) (b² + c² + d²) = (ab + bc – cd)²

दायाँ पक्ष

= (ab + bc + cd)²

= (ab + ad + cd)² [(1) का उपयोग करते हुए]

= [ab + d (a + c)]²

= a²b² + 2abd (a + c) + d² (a + c)²

= a²b² +2a²bd + 2acbd + d²(a² + 2ac + c²)

= a²b² + 2a²c² + 2b²c² + d²a² + 2d²b² + d²c² [(1) और (2) का प्रयोग करते हुए]

= a²b² + a²c² + a²c² + b²c² + b²c² + d²a² + d²b² + d²b² + d²c²

= a²b² + a²c² + a²d² + b² × b² + b²c² + b²d² + c²b² + c² × c² + c²d²

((2) और (3) का प्रयोग और शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करना)

= a²(b² + c² + d²) + b² (b² + c² + d²) + c² (b²+ c² + d²)

= (a² + b² + c²) (b² + c² + d²)

= बायाँ पक्ष

∴ बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष

∴ (a² + b² + c²) (b² + c² + d²) = (ab + bc + cd)².