Question

(x + 1)⁶ + (x – 1)⁶ का मान ज्ञात कीजिए। इसका प्रयोग करके या अन्यथा `(sqrt2 + 1)^6 + (sqrt2 -1)^6` का मान ज्ञात कीजिए।

Answer 1

द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए, व्यंजक, (x + 1)⁶ और (x – 1)⁶ को इस प्रकार विस्तारित किया जा सकता है

`(x + 1)^6  = x^6  +  ^6C_1  x^5  1^1 +  ^6C_2  x^4  xx 1^2  + ^6C_3  x^3  xx  1^3  +  ^6C_4  x^2  1^4  +  ^6C_5. x. 1^5  + 1^6`

= `x^6  + 6x^5  + 15x^4  + 20x^3  + 15x^2  + 6x + 1`

इसी प्रकार, `(x -1)^6  = x^6  - 6x^5  + 15x^4  - 20x^3  + 15x^2 - 6x + 1`

जोड़ने पर `(x - 1)^6  + (x - 1)^6 = 2(x^6 + 15x^4 + 15x^2 + 1)`

इसमें  x = `sqrt2`  रखने पर

`(sqrt2 + 1)^6  + (sqrt2 - 1)^6 = 2[(sqrt2)^6  + 15 (sqrt2)^4  + 15 (sqrt2)^2 + 1]`

= 2[8 + 15 x 4 + 15 x 2 +1]

= 2[8 + 60 + 30 +1]

= 2 x 99

= 198