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प्रश्न
(x + 1)6 + (x – 1)6 का मान ज्ञात कीजिए। इसका प्रयोग करके या अन्यथा `(sqrt2 + 1)^6 + (sqrt2 -1)^6` का मान ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए, व्यंजक, (x + 1)6 और (x – 1)6 को इस प्रकार विस्तारित किया जा सकता है
`(x + 1)^6 = x^6 + ^6C_1 x^5 1^1 + ^6C_2 x^4 xx 1^2 + ^6C_3 x^3 xx 1^3 + ^6C_4 x^2 1^4 + ^6C_5. x. 1^5 + 1^6`
= `x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1`
इसी प्रकार, `(x -1)^6 = x^6 - 6x^5 + 15x^4 - 20x^3 + 15x^2 - 6x + 1`
जोड़ने पर `(x - 1)^6 + (x - 1)^6 = 2(x^6 + 15x^4 + 15x^2 + 1)`
इसमें x = `sqrt2` रखने पर
`(sqrt2 + 1)^6 + (sqrt2 - 1)^6 = 2[(sqrt2)^6 + 15 (sqrt2)^4 + 15 (sqrt2)^2 + 1]`
= 2[8 + 15 x 4 + 15 x 2 +1]
= 2[8 + 60 + 30 +1]
= 2 x 99
= 198
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