Question

Without using trigonometric tables, prove that:

tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° tan 45° = 1

Answer 1

Given: tan 48°, tan 23°, tan 42°, tan 67°, tan 45°

To Prove: tan 48° · tan 23° · tan 42° · tan 67° · tan 45° = 1

Proof [Step-wise]:

1. Note tan 45° = 1.

2. Observe 48° + 42° = 90°, so tan 42° = tan(90° – 48°) = cot 48°.

Hence tan 48° · tan 42° = tan 48° · cot 48° = 1, since tan θ · cot θ = 1.

3. Similarly, 23° + 67° = 90°, so tan 67° = cot 23°.

Hence tan 23° · tan 67° = tan 23° · cot 23° = 1.

4. Multiply the three results: (tan 48° · tan 42°) · (tan 23° · tan 67°) · tan 45°

= 1 · 1 · 1

= 1