Question

Verify the existence of `lim_(x -> 1) f(x)`, where `f(x) = {{:((|x - 1|)/(x - 1)",",  "for"  x ≠ 1),(0",",  "for"  x = 1):}`

Answer 1

Given `f(x) = {{:((|x - 1|)/(x - 1)",",  "for"  x ≠ 1),(0",",  "for"  x = 1):}`

`f(x) = {{:(|(x - 1|)/(x - 1),  "for"  x < 1 and x > 1),(0,  "for"  x = 1):}`

`f(x) = {{:((- (x - 1))/(x - 1),  "for"  x < 1),((x - 1)/(x - 1),  "for"  x > 1),(0,  "for"  x = 1):}`

`f(x) = {{:(-1,  "for"  x < 1),(1,  "for"  x > 1),(0,  "for"  x = 1):}`

`f(1^-) = lim_(x -> 1^-) f(x)`

= `lim_(x -> 1^-) (- 1)` = – 1   .......(1)

`f(1^+) = lim_(x -> 1^+) f(x)`

= `lim_(x -> 1^+) (1)` = 1   .......(2)

From equations (1) and (2) we get

f(1^–) ≠ f(1⁺)

∴ The limit of f(x) does not exist.