Question

Solve the following equation for x:

`tan^-1((x-2)/(x-4))+tan^-1((x+2)/(x+4))=pi/4`

Answer 1

We know
`tan^-1x+tan^-1y=tan^-1((x+y)/(1-xy))`

∴ `tan^-1((x-2)/(x-4))+tan^-1((x+2)/(x+4))=pi/4`

⇒ `tan^-1(((x-2)/(x-4)+(x+2)/(x+4))/(1-(x-2)/(x-4)xx(x+2)/(x+4)))=pi/4`

⇒ `tan^-1(((x^2+2x-8+x^2-2x-8)/((x-4)(x+4)))/((x^2-16-x^2+4)/((x-4)(x+4))))=pi/4`

⇒ `(2x^2-16)/-12=tan  pi/4`

⇒ `(2x^2-16)/-12=1`

⇒ 2x² - 16 = -12

⇒ 2x² = 4

⇒ x² = 2

⇒ `x=+-sqrt2`