Question

सिद्ध कीजिए कि वक्र x = a cos θ + a θ sin θ, y = a sin θ – a θ cos θ के किसी बिन्दु पर अभिलंब मूल बिन्दु से अचर दूरी पर है।

Answer 1

वक्र x = a cos θ + a θ sin θ

θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`"dx"/("d"theta) = - "a" sin theta + "a" [theta cos theta + sin theta]`

= - a sin θ + a θ cos θ + a sin θ

= a θ cos θ

तथा y = a sin θ - a θ cos θ

θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`"dy"/("d"θ) = "a" cos θ - "a" [θ (- sin θ) + cos θ]`

`therefore "dy"/"dx" = ("dy"//("d"theta))/("dx"//("d"theta))`

Answer 2

वक्र x = a cos θ + a θ sin θ

θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`"dx"/("d"theta) = - "a" sin theta + "a" [theta cos theta + sin theta]`

= - a sin θ + a θ cos θ + a sin θ

= a θ cos θ

तथा y = a sin θ - a θ cos θ

θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`"dy"/("d"θ) = "a" cos θ - "a" [θ (- sin θ) + cos θ]`

`therefore "dy"/"dx" = ("dy"//("d"theta))/("dx"//("d"theta))`

`= ("a"  theta sin theta)/("a"  theta cos theta)`

`= (sin theta)/(cos theta) = tan theta`

∴ स्पर्श रेखा की प्रवणता = tan θ

∴ अभिलंब की प्रवणता = `- 1/"m" = - 1/(tan theta) = - cot theta`

अभिलंब रेखा का समीकरण, `"y" - "y"_1 = - 1/"m" (x - x_1)`

`"y" - ("a" sin theta - "a" theta cos theta) = - cot theta [x - ("a" cos theta + "a" theta sin theta)]`

`=> x cos theta + "y" sin theta = ("a" cos^2 theta + "a" theta sin theta cos theta) + "a" sin^2 theta - "a" theta sin theta cos theta`

`= "a" (cos^2 theta + "y" sin theta) = "a"`

मूल बिन्दु से अभिलंब की दूरी

d = `("a"x_1 + "by"_1 + "c")/(sqrt("a"^2 + "b"^2))`

`= "a"/sqrt(cos^2 theta + sin^2 theta)`

= a = अचर संख्या