Question

Show that (x – 1) is a factor of x³ – 5x² – x + 5 Hence factorise x³ – 5x² – x + 5.

Answer 1

Let x – 1 = 0, then x = 1
Substituting the value of x in f(x),
f(x) = x³ – 5x² – x + 5
= (1)³ – 5(1)² – 1 + 5
= 1 – 5 – 1 + 5
= 0
∵ Reminder = 0
∴ x – 1 is a factor of x³ – 5x² – x + 5
Now dividing f(x) by x – 1, we get

`x - 1")"overline(x^3 - 5x^2 - x + 5)("x^2 - 4x - 5`
           x³ – x²              
            –   +                    
                  – 4x²  – x
                  – 4x² + 4x
                 +        –           
                           – 5x + 5
                            –5x + 5
                            +    –       
                                  x        
∴ x³ – 5x² – x + 5
= (x – 1)(x² – 4x – 5)
= (x – 1)[x² – 5x + x – 5]
= (x – 1)[x(x – 5) + 1(x – 5)]
= (x – 1)(x + 1)(x – 5).