Question

Prove that `(sin θ)/(sec θ + 1) + (sin θ)/(sec θ - 1) = 2 cot θ`.

Answer 1

L.H.S. = `(sin θ)/(sec θ + 1) + (sin θ)/(sec θ - 1)` 

= `(sin θ)/(1/cos θ + 1) + (sin θ)/(1/(cos θ) - 1`

= `(sin θ)/((1 + cos θ)/(cos θ)) + (sin θ)/((1 - cos θ)/(cos θ))`

= `(sin θ cos θ)/(1 + cos θ) + (sin θ cos θ)/(1 - cos θ)`

= `sin θ cos θ (1 /(1 + cos θ) + 1/(1 - cos θ))`

= `sin θ cos θ [(1 - cos θ + 1 + cos θ)/((1 + cos θ)(1 - cos θ))]`

= `sin θ cos θ (2/(1 - cos^2θ))`   ...[∵ (a + b)(a – b) = a² – b²]

= `sin θ cos θ xx 2/(sin^2θ)`   ...`[(∵ sin^2θ + cos^2θ = 1),(∴ 1 - cos^2θ = sin^2θ)]`

= `2 xx (cos θ)/(sin θ)`

= 2 cot θ

= R.H.S.

∴ `(sin θ)/(sec θ + 1) + (sin θ)/(sec θ - 1) = 2 cot θ`