Question

Prove that `(sinθ - cosθ + 1)/(sinθ + cosθ - 1) = 1/(secθ - tanθ)`

Answer 1

LHS = `(sinθ - cosθ + 1)/(sinθ + cosθ - 1)`

LHS = `((sinθ - cosθ + 1)/(sinθ + cosθ - 1)) xx ((sinθ + cosθ + 1)/(sinθ + cosθ + 1))`

LHS = `((sinθ + 1 - cosθ )/(sinθ + cosθ - 1)) xx ((sinθ + 1 + cosθ)/(sinθ + cosθ + 1))`

LHS = `((sinθ + 1)^2 - cos^2θ)/((sinθ + cosθ)^2 - 1^2)`

LHS = `(sin^2θ + 1 + 2sinθ - cos^2θ)/(sin^2θ + cos^2θ + 2sinθcosθ - 1)`

 

LHS = `(1 - cos^2θ + 1 + 2sinθ - cos^2θ)/(1 + 2sinθcosθ - 1)   ...(sin^2θ + cos^2θ = 1)`

 

LHS = `(2 - 2cos^2θ + 2sinθ)/( 2sinθcosθ)`

 

LHS = `[cancel2(1 - cos^2θ + sinθ)]/[cancel2(sinθcosθ)]`

 

LHS = `( 1 - cos^2θ + sinθ)/(sinθcosθ)`

 

LHS = `(sin^2θ + sinθ)/( sinθcosθ )`

 

LHS = `(sinθ + 1)/cosθ`

 

LHS = `1/cosθ + sinθ/cosθ`

 

LHS = secθ + tanθ

 

LHS = `( secθ + tanθ ) xx (secθ - tanθ)/(secθ - tanθ)`

 

LHS = `(sec^2θ - tan^2θ)/(secθ - tanθ)`

 

LHS =`1/(secθ- tanθ)      ...[∴ sec^2θ − tan^2θ = 1]`

 

RHS = `1/(secθ- tanθ)`

 

LHS = RHS

 

Hence, it proved.