Question

पृथ्वी के पृष्ठ से ऊर्ध्वाधरतः ऊपर की ओर कोई रॉकेट 5 km s^-1 की चाल से दागा जाता है। पृथ्वी पर वापस लौटने से पूर्व यह रॉकेट पृथ्वी से कितनी दूरी तक जाएगा? पृथ्वी का द्रव्यमान = 6.0 × 10²⁴ kg; पृथ्वी की माध्य त्रिज्या = 6.4 × 10⁶ m तथा G = 6.67 × 10^-11N-m²/kg^-2।

Answer 1

माना रॉकेट का द्रव्यमान = m; पृथ्वी से ऊर्ध्वाधरत: ऊपर की ओर रॉकेट का प्रक्षेप्य वेग ν = 5 किमी-से^-1 = 5 × 10³ मी-से^-1

माना रॉकेट पृथ्वी पर वापस लौटने से पूर्व पृथ्वी से अधिकतम दूरी H ऊँचाई तक जाता है। अत: इस ऊँचाई पर रॉकेट का वेग शून्य हो जाता है।

ऊर्जा संरक्षण सिद्धांत से पृथ्वी तल से महत्तम ऊँचाई पर पहुँचने पर रॉकेट की गतिज ऊर्जा में कमी = उसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि -

`1/2 "mν"^2 - 0 = (- ("GM"_"e""m")/("R"_"e" + "H")) - (-( "GM"_"e""m")/"R"_"e")`

अथवा `1/2 "mν"^2 = "GM"_"e""m"[1/"R"_"e" - 1/("R"_"e" + "H")]`=`("GM"_"e""m"("R"_"e" + "H" - "R"_"e"))/("R"_"e"("R"_"e" + "H"))`

अथवा `1/2 "mν"^2 = ("GM"_"e""mH")/("R"_"e"^2 + "R"_"e""H")` अथवा  `"ν"^2 = (2  "GM"_"e""H")/("R"_"e"^2 + "R"_"e""H")`

वज्रगुणन करके सरल करने पर, `"H" = ("R"_"e"^2 xx   "ν"^2)/(2"GM"_"e" - "R"_"e""ν"^2)`

इस सूत्र में ज्ञात मान रखने पर,

`"H" = [((6.4 xx 10^6)^2(5 xx 10^3)^2)/(2 xx (6.67 xx 10^-11) xx (6.0 xx 10^24) - (6.4 xx 10^6)(5 xx 10^3)^2)]` m

= `1.6 xx 10^6` m

= `1600 xx 10^3` m

= 1600 km