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प्रश्न
निम्नलिखित आकृति में, ∠AOB = 90° और ∠ABC = 30° है। तब, ∠CAO बराबर है :
विकल्प
30⁰
45⁰
90⁰
60⁰
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उत्तर
60⁰
स्पष्टीकरण -
चूँकि, किसी चाप द्वारा केन्द्र पर बनाया गया कोण, वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर बनाए गए कोण का दोगुना होता है।
∴ ∠AOB = 2∠ACB
`\implies` 90° = 2∠ACB ...[∵ ∠AOB = 90°]
`\implies` ∠ACB = 45°
साथ ही, AO = OB ...[एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
`\implies` ∠ABO = ∠BAO ...(i) [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
अब, ΔOAB में, ∠OAB + ∠ABO + ∠BOA = 180° ...[त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।]
∴ ∠OAB + ∠OAB + 90° = 180° ...[(i) से]
`\implies` 2∠OAB = 180° – 90° = 90°
`\implies ∠OAB = 90^circ/2 = 45^circ` ...(ii)
साथ ही, ΔACB में, ∠ACB + ∠CBA + ∠CAB = 180° ...[त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।]
∴ 45° + 30° + ∠CAB = 180° ...[∵ ∠ABC = 30°]
`\implies` ∠CAB = 105°
चूँकि, ∠CAO + ∠OAB = ∠CAB
`\implies` ∠CAO + 45° = 105° ...[(ii) से]
`\implies` ∠CAO = 105° – 45° = 60°
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