Question

मृदु इस्पात के एक तार, जिसकी लंबाई 1.0 m तथा अनुप्रस्थ परिच्छेद का क्षेत्रफल – 0.50 x 10^-2 cm² है, को दो खम्भों के बीच क्षैतिज दिशा में प्रत्यास्थ सीमा के अन्दर ही तनित किया जाता है। तार के मध्य बिन्दु से 100g का एक द्रव्यमान लटका दिया जाता है। मध्य बिन्दु पर अवनमन की गणना कीजिए।

Answer 1

दिया है : तार की लंबाई L = 1.0 m,

अनुप्रस्थ परिच्छेद का क्षेत्रफल A = 0.50 x 10^-2 cm² = 5 x 10^-7 m²
m = 100 g = 0.1 kg, Y = 2.0 x 10¹¹ Nm^-2

माना सन्तुलन की स्थिति में तार के दोनों भागों का क्षैतिज से – झुकाव θ है तथा तार के दोनों भागों में समान तनाव T है।

सन्तुलन की स्थिति में,

2T sin θ = mg …(1)

(C तार का मध्य बिन्दु है जो भार लटकाने पर बिन्दु O तक विस्थापित हो जाता है।)

तब `"l" = "AC" = "BC" = 1.0/2 = 0.5` m

माना अवनमन OC = x है जो की सूक्ष्म होगा।

∴ AO = `sqrt("AC"^2 + "OC"^2) = sqrt("l"^2 + x^2)`

∴ भाग AC की लंबाई में वृद्धि `triangle"l" = "AO" - "AC"`

= `("l"^2 + x^2)^(1//2) - "l"`

= `"l"[(1 + x^2/"l"^2)^(1//2) - 1]`

`triangle"l" = "l"[(1 + 1/2 x^2/"l"^2) - 1]`  (द्विपद प्रमेय से)

अथवा `triangle"l" = "l" xx x^2/(2"l"^2)`

∴ भाग AO में तनाव `"T" = ("YA"triangle"l")/"l"`                  ` [∵ "Y" = ("T"//"A")/(triangle"l"//"l")]`

= `"YA"/"l" xx "l" xx x^2/(2"l"^2) = ("YA"x^2)/(2"l"^2)`

∴ समीकरण (1) से `2 xx ("YA"x^2)/(2"l"^2)` sin θ = mg 

`=> "sin" theta = ("mg"  "l"^2)/"YA"` परन्तु  θ छोटा है   ` => "sin"theta = theta = "OC"/"AC" = x/"l"`

∴ `x/"l" = ("mg"  "l"^2)/("YA"x^2) =>  x^3 = "mgl"^3/"YA"`

∴ `x = "l" xx ("mg"/"YA")^(1//3) = 0.5  "m"[(0.1  "kg" xx 9.8 "ms"^-2)/(2.0 xx 10^11  "N"  "m"^-2 xx 5 xx 10^-7  "m"^2)]^(1/3)`

`= 0.5 xx 2.13 xx 10^-2 "m" ≈ = 0.01` m

अतः मध्य बिन्दु पर अवनमन लगभग 0. 01 m है।