Question

मान लीजिए कि f(x) = |x| + x तथा g(x) = x – x ∀ x ∈ R द्वारा परिभाषित f, g: R → R दो फलन हैं, तो f o g तथा g o f  ज्ञात कीजिए।

Answer 1

यहाँ f(x) = |x| + x जिसे निम्नलिखित प्रकार से पुन: परिभाषित कर सकते हैं:

f(x) = `{(2x,  "if"  x ≥ 0),(0,  "if"  x < 0):}`

इसी प्रकार g(x) = |x| – x द्वारा परिभाषित फलन g निम्नलिखित प्रकार से पुन: परिभाषित किया जा सकता है,

g(x) = `{(0,  "if"  x ≥ 0),(-2x,  "if"  x < 0):}`

इसलिए g o f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित होगा:

 x ≥ 0, के लिए (g o f) (x) = g (f(x) = g (2x) = 0

तथा x < 0, के लिए (g o f) (x) = g (f(x) = g (0) = 0.

फलस्वरूप, (g o f) (x) = 0, ∀ x ∈ R.

इसी प्रकार, f o g gets निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित होता है:

 x ≥ 0, के लिए (f o g) (x) = f (g(x) = f(0) = 0 तथा

x < 0, के लिए (f o g) (x) = f (g(x)) = f(–2x) = – 4x.

अर्थात, (f o g) (x) = `{(0, x > 0),(-4x, x < 0):}`