Question

Let Z be the set of all integers and Z₀ be the set of all non-zero integers. Let a relation R on Z × Z₀be defined as (a, b) R (c, d) ⇔ ad = bc for all (a, b), (c, d) ∈ Z × Z₀,
Prove that R is an equivalence relation on Z × Z₀.

Answer 1

We observe the following properties of R.

Reflexivity :

Let (a, b) be an arbitrary element of Z × Z0. Then,

(a, b) ∈ Z × Z₀

 ⇒ a, b ∈ Z, Z₀

⇒ ab = ba

⇒ (a, b) ∈ R for all (a, b) ∈ Z × Z₀

So, R is reflexive on Z × Z₀.

Symmetry :

Let (a, b), (c, d) ∈ Z×Z₀ such that (a, b) R (c, d). Then,(a, b) R (c, d)

⇒ ad = bc

⇒ cb = da

⇒ (c, d) R (a, b)

Thus,

 (a, b) R (c, d)⇒ (c, d) R (a, b) for all (a, b), (c, d) ∈ Z× Z₀

So, R is symmetric on Z×Z₀.

Transitivity :

Let(a,b), (c,d),(e,f) ∈N × N₀suchthat a,b) R(c,d) and(c,d) R(e,f).Then,

a, b) R (c, d)⇒ ad =bc (c, d) R (e, f) ⇒ cf  =de }       ⇒ (ad) (cf)=(bc) (de)

⇒ af=be

⇒ (a, b) R (e, f)

Thus,

(a, b) R (c, d) and (c, d ) R (e, f)  ⇒  (a, b) R (e, f)

⇒(a, b) R (e, f) for all values (a, b), (c, d), (e, f) ∈ N × N₀

So, R is transitive on N × N₀.