Question

किसी चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचिए। वृत्त के बाहर एक बिंदु लीजिए। इस बिंदु से वृत्तों पर स्पर्श रेखाओं के युग्म की रचना कीजिए। निर्माण का औचित्य बताइए।

Answer 1

दिए गए वृत्त पर आवश्यक स्पर्श रेखाएँ निम्नानुसार बनाई जा सकती हैं।

चरण 1

चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचिए।

चरण 2

इस वृत्त के बाहर एक बिंदु P लें और दो जीवाएं QR और ST लें।

चरण 3

इन जीवाओं के लम्ब समद्विभाजक खींचिए। उन्हें एक दूसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करने दें।

चरण 4

PO को मिलाइए और इसे समद्विभाजित कीजिए। मान लीजिए U, PO का मध्य-बिंदु है। U को केंद्र मानकर OU त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए, जो वृत्त को V और W पर काटेगा। PV और PW को मिलाइए।

PV और PW अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

औचित्य

निर्माण को यह सिद्ध करके उचित ठहराया जा सकता है कि PV और PW वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। इसके लिए सबसे पहले यह सिद्ध करना होगा कि O वृत्त का केंद्र है। आइए OV और OW में शामिल हों

हम जानते हैं कि जीवा का लम्ब समद्विभाजक केंद्र से होकर गुजरता है। इसलिए, जीवाओं के लंबवत द्विभाजक QR और ST केंद्र से होकर गुजरते हैं। यह स्पष्ट है कि इन लंबवत समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र है। ∠PVO अर्धवृत्त में एक कोण है। हम जानते हैं कि अर्धवृत्त का कोण समकोण होता है।

∴ ∠PVO = 90°

⇒ OV ⊥ PV

चूँकि OV वृत्त की त्रिज्या है, PV को वृत्त की स्पर्श रेखा होना चाहिए। इसी प्रकार, PW वृत्त की स्पर्श रेखा है।