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प्रश्न
किन्हीं भी समुच्चयों A तथा B के लिए क्या यह सत्य है कि P(A) ∪ P(B) = P(A ∪ B)? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
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उत्तर
असत्य
मान लीजिए
A = {a}, B = {b}, और A ∪ B = {a, b}
P(A) = {ϕ, {a}}, P(B) = {ϕ, {b}}
P(A) ∪ P(B) = {ϕ, {a}, {b}} …(i)
अब A ∪ B = {a, b}
∴ P(A ∪ B) = {ϕ, {a}, {b}, {a, b}} … (ii)
समी (i) और (ii) से हम देखते हैं कि
अतः P(A) ∪ P(B) ≠ P(A ∪ B).
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रिक्त स्थान में प्रतीक ⊂ या ⊄ को भर कर सही कथन बनाइए:
{x : x आपके विद्यालय की कक्षा XI का एक विद्यार्थी है} _____ {x : x आपके विद्यालय का एक विद्यार्थी है।
रिक्त स्थान में प्रतीक ⊂ या ⊄ को भर कर सही कथन बनाइए:
{x : x किसी समतल में स्थित एक वृत है} _____ {x : x एक समान समतल में एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या 1 इकाई है}
{a, b} ⊄ {b, c, a}
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मान लीजिए कि A = {1, 2, {3, 4}, 5}। निम्नलिखित कथन सही है या गलत और क्यों?
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1 ⊂ A
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{1, 2, 3}
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Φ
निम्नलिखित को अंतराल रूप में लिखिए:
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निम्नलिखित को अंतराल रूप में लिखिए:
{x : x ∈ R, 3 ≤ x ≤ 4}
निम्नलिखित अंतराल को समुच्चय निर्माण रूप में लिखिए:
(-3, 0)
निम्नलिखित अंतराल को समुच्चय निर्माण रूप में लिखिए:
[-23, 5)
ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है। यदि सत्य है, तो उसे सिद्ध कीजिए। यदि असत्य है तो एक उदाहरण दीजिए।
यदि A ⊄ B तथा B ⊄ C, तो A ⊄ C
ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है। यदि सत्य है, तो उसे सिद्ध कीजिए। यदि असत्य है तो एक उदाहरण दीजिए।
यदि x ∈ A तथा A ⊄ B, तो x ∈ B
मान लीजिए कि P(A) = P(B), सिद्ध कीजिए कि A = B.
दिया हुआ है कि N = {1, 2, 3,...., 100}, तो
N का वह उप-समुच्चय A लिखिए, जिसके अवयव विषम संख्याएं हैं।
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य हैं।
मान लीजिए कि R और S निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित समुच्चय हैं:
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तो R ∩ S = φ
मान लीजिए कि R, भुजा a और b (a, b > 1) वाले एक ऐसे आयत के भीतरी बिंदुओं का समुच्चय है, जिसकी भुजाएँ क्रमशः x-अक्ष तथा y-अक्ष की धनात्मक दिशाओं के अनुदिश (along) हैं, तो ______
समुच्चय {x ∈ R : 1 ≤ x < 2} को ______ प्रकार से भी लिखा जा सकता है।
यदि A = {a, b, c, d, e}, B = {c, d, e, f}, C = {b, d}, D = {a, e} तो निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है लिखिए।
A ⊆ D
यदि A = {a, b, c, d, e}, B = {c, d, e, f}, C = {b, d}, D = {a, e} तो निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है लिखिए।
D ⊆ B
यदि A = {a, b, c, d, e}, B = {c, d, e, f}, C = {b, d}, D = {a, e} तो निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है लिखिए।
B ⊆ A
निम्नलिखित समुच्चयों में से कौन-सा समुच्चय किस समुच्चय का उप समुच्चय है यह स्पष्ट कीजिए।
X = सभी चतुर्भुजों का समुच्चय
Y = सभी सम चतुर्भुजों का समुच्चय
S = सभी वर्गों का समुच्चय
T = सभी समांतर चतुर्भुजों का समुच्चय
V = सभी आयतों का समुच्चय
