Question

खालील आकृती मध्ये `square`ABCD ह्या समांतरभुज चौकोनाच्या बाजूंवर P, Q, R, S बिंदू असे आहेत की, AP = BQ = CR = DS तर सिद्ध करा, की `square`PQRS हा समांतरभुज चौकोन आहे.

Answer 1

पक्ष: `square`ABCD हा समांतरभुज चौकोन आहे.

AP = BQ = CR = DS

साध्य: `square`PQRS हा समांतरभुज चौकोन आहे.

सिद्धता: 

AP = CR     ..[(पक्ष] ...(i)

`square`ABCD हा समांतरभुज चौकोन आहे.

AB = CD     ...[समांतरभुज चौकोनाच्या संमुख भुजा]

∴ AP + PB = CR + RD     ...[A-P-B, D-R-C] ...(ii)

∴ PB = RD      ...[(i) व (ii) वरून] ...(iii)

∠ABC ≅ ∠ADC       ...[समांतरभुज चौकोनाचे संमुख कोन]

∠PBQ ≅ ∠RDS      ...[A-P-B, B-Q-C, C-R-D आणि A-S-D] ...(iv)

ΔPBQ व ΔRDS मध्ये,

रेख PB ≅ रेख RD   ...[(iii) वरून]

∠PBQ ≅ ∠RDS    ...[(iv) वरून]

रेख BQ ≅ रेख SD     ...[पक्ष]

∴ ΔPBQ ≅ ΔRDS    ...[बाकोबा कसोटी]

रेख PQ ≅ रेख RS    ...[एकरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू] ...(v)

त्याचप्रमाणे, आपण सिद्ध करू शकतो, की ΔPAS ≅ ΔRCQ,

∴ रेख PS ≅ रेख RQ    ...(vi)

`square`PQRS मध्ये,

रेख PQ ≅ रेख RS      ...[(v) वरून]

रेख PS ≅ रेख RQ     ...[(vi) वरून]

चौकोनाच्या संमुख बाजू एकरूप असतील तर तो चौकोन समांतरभुज असतो.

∴ `square`PQRS हा समांतरभुज चौकोन आहे.