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प्रश्न
एक समांतर चतुर्भुज ABCD में E और F क्रमश: भुजाओं AB और CD के मध्य-बिंदु हैं (देखिए आकृति में)। दर्शाइए कि रेखाखंड AF और EC विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं।
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उत्तर
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ AB || CD
और इसलिए, AE || FC
फिर से, AB = CD ...(समांतर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ)
`1/2 AB` = `1/2 CD`
AE = FC ...(E और F भुजा AB और CD के मध्य-बिंदु हैं)
चतुर्भुज AECF में, सम्मुख भुजाओं (AE और CF) का एक युग्म एक दूसरे के समांतर और बराबर होता है। इसलिए, AECF एक समांतर चतुर्भुज है।
⇒ AF || EC ...(समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
ΔDQC में, F भुजा DC और FP || CQ का मध्य-बिंदु है (क्योंकि AF || EC)। इसलिए, मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम का उपयोग करके, यह कहा जा सकता है कि P, DQ का मध्य-बिंदु है।
⇒ DP = PQ ...(1)
इसी प्रकार, ΔAPB में, E भुजा AB का मध्य-बिंदु है और EQ || AP (जैसा कि AF || EC) है। इसलिए, मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम का उपयोग करके, यह कहा जा सकता है कि Q, PB का मध्य-बिंदु है।
⇒ PQ = QB ...(2)
समीकरण (1) और (2) से,
DP = PQ = BQ
इसलिए, रेखाखंड AF और EC विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं।
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