Advertisements
Advertisements
प्रश्न
एक समांतर चतुर्भुज ABCD में E और F क्रमश: भुजाओं AB और CD के मध्य-बिंदु हैं (देखिए आकृति में)। दर्शाइए कि रेखाखंड AF और EC विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं।
Advertisements
उत्तर
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ AB || CD
और इसलिए, AE || FC
फिर से, AB = CD ...(समांतर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ)
`1/2 AB` = `1/2 CD`
AE = FC ...(E और F भुजा AB और CD के मध्य-बिंदु हैं)
चतुर्भुज AECF में, सम्मुख भुजाओं (AE और CF) का एक युग्म एक दूसरे के समांतर और बराबर होता है। इसलिए, AECF एक समांतर चतुर्भुज है।
⇒ AF || EC ...(समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
ΔDQC में, F भुजा DC और FP || CQ का मध्य-बिंदु है (क्योंकि AF || EC)। इसलिए, मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम का उपयोग करके, यह कहा जा सकता है कि P, DQ का मध्य-बिंदु है।
⇒ DP = PQ ...(1)
इसी प्रकार, ΔAPB में, E भुजा AB का मध्य-बिंदु है और EQ || AP (जैसा कि AF || EC) है। इसलिए, मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम का उपयोग करके, यह कहा जा सकता है कि Q, PB का मध्य-बिंदु है।
⇒ PQ = QB ...(2)
समीकरण (1) और (2) से,
DP = PQ = BQ
इसलिए, रेखाखंड AF और EC विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं।
संबंधित प्रश्न
ABCD एक समचतुर्भुज है और P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक आयत है।
ABCD एक आयत है, जिसमें P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है।
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है। साथ ही, BD एक विकर्ण है और E भुजा AD का मध्य-बिंदु है। E से होकर एक रेखा AB के समांतर खींची गई है, जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है (देखिए आकृति में)। दर्शाइए कि F भुजा BC का मध्य-बिंदु है।
दर्शाइए कि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
D, E और F क्रमश: एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि ∆DEF भी एक समबाहु त्रिभुज है।
आकृति में ΔABC मे बिंदु X, Y, Z यह क्रमशः भुजाओं AB, BC तथा AC के मध्यबिंदु है। AB = 5 सेमी, AC = 9 सेमी तथा BC = 11 सेमी, तो XY, YZ, XZ की लंबाई ज्ञात कीजिए।
आकृति में `square` PQRS तथा `square` MNRL आयत है। बिंदु M यह PR का मध्यबिंदु है। तो सिद्ध कीजिए कि
(i) SL = LR, (ii) LN = `1/2` SQ
आकृति में ΔABC समबाहु त्रिभुज है जिसमें बिंदु F, D, E यह क्रमशः भुजा AB, भुजा BC, भुजा AC के मध्यबिंदु हैं तो सिद्ध कीजिए कि ΔFED यह समबाहु त्रिभुज है।
आकृति में रेख PD यह ΔPQR की माध्यिका है। बिंदु T यह PD का मध्यबिंदु है। QT को आगे बढ़ाने पर यह PR को बिंदु M पर प्रतिच्छेदित करता है। तो सिदघ कीजिए कि `"PR"/"PM" = 1/3`
[सूचना: DN || QM खींचें।]
संलग्न आकृति में `square` ABCD यह समलंब चतुर्भुज है। AB || DC, बिंदु M तथा बिंदु N क्रमशः विकर्ण AC तथा विकर्ण DB के मध्यबिंदु है तो सिद्ध कीजिए कि MN || AB
