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प्रश्न
ABCD एक आयत है, जिसमें P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है।
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उत्तर
AC और BD को मिलाएँ।
ΔABC में,
P और Q क्रमशः AB और BC के मध्य-बिंदु हैं।
∴ PQ || AC और PQ = `1/2 AC` ...(मध्य-बिंदु प्रमेय) ...(1)
इसी प्रकार ΔADC
SR || AC और SR = `1/2 AC` ...(मध्य-बिंदु प्रमेय) ...(2)
स्पष्टत:, PQ || SR और PQ = SR
चूँकि चतुर्भुज PQRS में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और एक दूसरे के समांतर होता है, इसलिए यह एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ PS || QR और PS = QR ...(समानांतर चतुर्भुज के सम्मुख पक्ष) ...(3)
ΔBCD में, Q और R क्रमशः भुजा BC और CD के मध्य-बिंदु हैं।
∴ QR || BD और QR = `1/2 BD` ...(मध्य-बिंदु प्रमेय) ...(4)
हालाँकि, एक आयत के विकर्ण बराबर होते हैं।
∴ AC = BD …(5)
समीकरण (1), (2), (3), (4) और (5) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
PQ = QR = SR = PS
अत:, PQRS एक समचतुर्भुज है।
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