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प्रश्न
ABCD एक समचतुर्भुज है और P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक आयत है।
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उत्तर
ΔABC में, P और Q क्रमशः भुजाओं AB और BC के मध्य-बिंदु हैं।
PQ || AC और PQ = `1/2AC` ...(मध्य-बिंदु प्रमेय का उपयोग करके) ...(1)
ΔADC में,
R और S क्रमशः CD और AD के मध्य-बिंदु हैं।
∴ RS || AC और RS = `1/2 AC` ...(मध्य-बिंदु प्रमेय का उपयोग करके) ...(2)
समीकरण (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं
PQ || RS और PQ = RS
चूँकि चतुर्भुज PQRS में, सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर होता है एक दूसरे को, यह एक समांतर चतुर्भुज है।
मान लीजिए समचतुर्भुज ABCD के विकर्ण एक दूसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चतुर्भुज OMQN में,
MQ || ON ...(∵ PQ || AC)
QN || OM ...(∵ QR || BD)
अतः OMQN एक समांतर चतुर्भुज है।
⇒ ∠MQN = ∠NOM
⇒ ∠PQR = ∠NOM
हालाँकि, ∠NOM = 90° ...(एक समचर्तुभुज के विकर्ण परस्पर लंब हैं।)
∴ ∠PQR = 90°
स्पष्टत:, PQRS एक समांतर चतुर्भुज है जिसका एक अंत: कोण 90° है।
अत:, PQRS एक आयत है।
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