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प्रश्न
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) का कथन लिखिए और सिद्ध कीजिए।
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उत्तर
आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) के अनुसार, यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर कोई रेखा खींची जाए जो अन्य दो भुजाओं को दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करे, तो वह रेखा उन भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।
मान लीजिए ABC एक त्रिभुज है।
भुजा BC के समांतर रेखा ‘l’, भुजा AB को D पर और AC को E पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है: `(AD)/(DB) = (AE)/(EC)`
रचना: BE और CD को मिलाएं। EF ⊥ AB और DG ⊥ CA खींचें।
चूंकि EF ⊥ AB है,
इसलिए EF, त्रिभुजों ADE और DBE की ऊँचाई है।
Δ ADE का क्षेत्रफल = `1/2 xx "आधार" xx "ऊँचाई"`
= `1/2 AD xx EF`
Δ DBE का क्षेत्रफल = `1/2 xx DB xx EF`
`(Δ ADE "का क्षेत्रफल")/(Δ DBE "का क्षेत्रफल") = (1/2 xx AD xx EF)/(1/2 xx DB xx EF)`
= `(AD)/(DB)` ...(1)
इसी प्रकार,
`(Δ ADE "का क्षेत्रफल")/(Δ DCE "का क्षेत्रफल") = (1/2 xx AE xx DG)/(1/2 xx EC xx DG)`
=` (AE)/(EC)` ...(2)
परंतु Δ DBE और Δ DCE एक ही आधार DE पर और समान समांतर रेखाओं BC और DE के बीच स्थित हैं।
इसलिए, Δ DBE का क्षेत्रफल = Δ DCE का क्षेत्रफल ...(3)
समीकरण (1), (2) और (3) से, हमें प्राप्त होता है:
`(AD)/(DB) = (AE)/(EC)`
अतः सिद्ध हुआ।
