Question

दी गई आकृति में, Δ ABC तथा Δ PQR की क्रमशः CM तथा RN रेखाएँ  माध्यिका (medians) हैं। Δ ABC ∼ Δ PQR, तो सिद्ध कीजिए:

Δ AMC ∼ Δ PNR

Answer 1

दिया है:  ΔABC ∼ ΔPQR

इनकी संगत भुजाएँ आनुपातिक हैं, और इनके संगत कोण बराबर हैं:

∴ ∠ A = ∠ P, ∠ B = ∠ = Q, ∠ C = ∠ R    ...(1)

`(AB)/(PQ) = (BC)/(QR) = (AC)/(PR)`   ...(2)

CM और RN क्रमशः ΔABC और ΔPQR की माध्यिकाएँ (medians) हैं।

ΔAMC और ΔPNR में:

∠A = ∠P     ...(अंतर्गत कोण बराबर है)

`(AB)/(PQ) = (AC)/(PR)`    ...[समीकरण (2) से]

`(2AM)/(2PN) = (AC)/(PR)`  

`(AM)/(PN) = (AC)/(PR)`    ...(भुजाएँ आनुपातिक हैं)

चूँकि दो भुजाएँ आनुपातिक हैं और उनके बीच का अंतर्गत कोण बराबर है, इसलिए SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार त्रिभुज समरूप हैं।

∴ ΔAMC ∼ ΔPNR

अतः सिद्ध हुआ।