Theorems and Laws [1]
P(1, –2), Q(5, 2), R(3, –1), S(–1, –5) हे समांतरभुज चौकोनाचे शिरोबिंदू आहेत, हे दाखवा.
समजा, P(1, −2) = (x1, y1); Q(5, 2) = (x2, y2); R(3, −1) = (x3, y3) आणि S(−1, −5) = (x4, y4).
अंतराच्या सूत्रानुसार,
PQ = `sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)`
= `sqrt((5 - 1)^2 + [2 - (-2)]^2)`
= `sqrt((4)^2 + (4)^2)`
= `sqrt(16 + 16)`
= `sqrt32`
= `sqrt(2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 2)`
= `4sqrt2` ...(1)
QR = `sqrt((x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2)`
= `sqrt((3 - 5)^2 + (-1 - 2)^2`
= `sqrt((-2)^2 + (-3)^2)`
= `sqrt(4 + 9)`
= `sqrt13` ...(2)
RS = `sqrt((x_4 - x_3)^2 + (y_4 - y_3)^2)`
= `sqrt((-1 - 3)^2 + [-5 - (-1)]^2)`
= `sqrt((-4)^2 + (-4)^2)`
= `sqrt(16 + 16)`
= `sqrt32`
= `sqrt(2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 2)`
= `4sqrt2` ...(3)
PS = `sqrt((x_4 - x_1)^2 + (y_4 - y_1)^2)`
= `sqrt((-1 - 1)^2 + [-5 - (-2)]^2)`
= `sqrt((-2)^2 + (-5 + 2)^2)`
= `sqrt((-2)^2 + (-3)^2)`
= `sqrt(4 + 9)`
= `sqrt13` ...(4)
`square`PQRS मध्ये,
PQ = RS ....[(i) आणि (iii) वरून]
QR = PS .....[(ii) आणि (iv) वरून]
`square"PQRS"` हा समांतरभुज चौकोन आहे. ....[जर चौकोनाच्या संमुख बाजू एकरूप असतील तर तो चौकोन समांतरभुज चौकोन असतो.]
बिंदू P(1, –2), Q(5, 2), R(3, –1), S(–1, –5) हे समांतरभुज चौकोनाचे शिरोबिंदू आहेत.
Important Questions [15]
- आरंभबिंदूचे निर्देशक ______ असतात.
- रेषा AB ही X अक्षाला समांतर आहे. A या बिंदूचे निर्देशक (1, 3) आहेत, तर B बिंदूचे निर्देशक ______ असतील.
- रेख AB, हा Y-अक्षाला समांतर असून A बिंदूचे निर्देशक (1,3) आहेत तर, B बिंदूचे निर्देशक ______ असू शकतील.
- खालील बिंदू एकरेषीय आहेत की नाहीत हे ठरवा. A(1, −3), B(2, −5), C(−4, 7)
- O(0, 0) आणि P(3, 4) या दोन बिंदूतील अंतर काढा.
- जर P हा बिंदू A(4, -3) आणि B(8, 5) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाचे 3 : 1 या गुणोत्तरात विभाजन करत असेल, तर P बिंदूचे निर्देशक काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा. कृती: ∴ रेषाखंडाच्या विभाजनाच्या सूत्रानुसार
- जर P बिंदू हा A(−1, 7) आणि B(4, −3) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाचे 2 : 3 या गुणोत्तरात विभाजन करत असेल तर P बिंदूचे निर्देशक काढा.
- P(1, –2), Q(5, 2), R(3, –1), S(–1, –5) हे समांतरभुज चौकोनाचे शिरोबिंदू आहेत, हे दाखवा.
- जर D(-7, 6), E(8, 5) आणि F(2, -2) हे त्रिकोणाच्या बाजूंचे मध्यबिंदू असतील, तर त्या त्रिकोणाच्या मध्यगा संपातबिंदूचे निर्देशक काढा.
- A(-4, 2) व B(6, 2) या बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषाखंडाच्या बिंदू P हा मध्यबिंदू आहे. तर P बिंदूचे निर्देशक काढण्यासाठी कृती पूर्ण करा. उकल: (-4, 2) = (x1, y1), (6, 2) = (x2, y2) आणि बिंदू P चे निर्देशक
- (4, -3, (7, 5), (-2,1) हे त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूंचे निर्देशक आहेत, तर त्रिकोणाच्या मध्यगा संपात बिंदूचा Y-निर्देशक काढा.
- खालील बिंदू एकरेषीय आहेत की नाहीत, हे ठरवा. A(-1, -1), B(0, 1), C(1, 3)
- खाली दिलेल्या बिंदूंतून जाणाऱ्या रेषेचा चढ काढा. A(2, 3) आणि B(4, 7)
- रेषेने X-अक्षाच्या धन दिशेशी केलेला कोन दिला आहे, त्यावरून त्या रेषेचा चढ काढा. 45°
- X-अक्षाचा चढ ______ असतो.
