Question

Using properties of determinants, show that ΔABC is isosceles if:`|[1,1,1],[1+cosA,1+cosB,1+cosC],[cos^2A+cosA,cos^B+cosB,cos^2C+cosC]|=0​`

Answer 1

`|[1,1,1],[1+cosA,1+cosB,1+cosC],[cos^2A+cosA,cos^B+cosB,cos^2C+cosC]|=0`

Performing C₂→C₂−C₁, C₃→C₃−C₁

`|[1,0,0],[1+cosA,cosB-cosA,cosC-cosA],[cos^2A+cosA,(cosB-cosA)(cosA+cosB+1),(cosC−cosA)(cosC+cosA+1)]|=0`

`(cosB−cosA)(cosC−cosA)|[1,0,0],[1+cosA,1,1],[cos^2A+cosA,(cosA+cosB+1),(cosC+cosA+1)]|=0`

(cosB−cosA)(cosC−cosA)(cosC−cosB)=0 

∴ cosB=cosA

⇒B=A or cosC=cosA

⇒C=A or cosC=cosB

⇒C=B

∴ △ABC is an isosceles triangle.