Question

सिद्ध कीजिए कि: `(sec^3 θ)/(sec^2 θ - 1) + ("cosec"^3 θ)/("cosec"^2 θ - 1) = sec θ . "cosec"  θ (sec θ + "cosec"  θ)`

Answer 1

`(sec^3 θ)/(sec^2 θ - 1) + ("cosec"^3 θ)/("cosec"^2 θ - 1) = sec θ . "cosec"  θ (sec θ + "cosec"  θ)`

सर्वसमिकाओं को याद कीजिए:

sec²θ – 1 = tan²θ

cosec²θ – 1 = cot²θ

इनका उपयोग करके बाएं ओर (LHS) को फिर से लिखें:

`(sec^3θ)/(tan^2θ) + ("cosec"^3θ)/(cot^2θ)`

`sec θ = 1/cos θ`

`"cosec"  θ = 1/sin θ`

`tan θ = sin θ/cos θ`

`cot θ = cos θ/sin θ`

इन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:

`(1/(cos θ))^3/((sin θ)/(cos θ))^2 + (1/(sin θ))^3/((cos θ)/(sin θ))^2`

प्रत्येक पद को सरल कीजिए:

पहला पद:

`(1/(cos^3θ))/((sin^2θ)/(cos^2θ)) = 1/(cos^3θ) xx (cos^2θ)/(sin^2θ)`

= `1/(cos θ sin^2 θ)`

दूसरा पद:

`(1/(sin^3θ))/((cos^2θ)/(sin^2θ)) = 1/(sin^3θ) xx (sin^2θ)/(cos^2θ)`

= `1/(sin θ cos^2 θ)`

तो LHS बन जाता है:

`1/(cos θ sin^2 θ) + 1/(sin θ cos^2 θ)`

सामान्य भाजक sin² θ cos² θ है।

प्रत्येक पद को फिर से लिखें:

`1/(cos θ sin^2 θ) = cos θ/(cos^2 θ sin^2 θ)`

`1/(sin θ cos^2 θ) = sin θ/(sin^2 θ cos^2 θ)`

दरअसल, सामान्य भाजक प्राप्त करने के लिए अंश और भाजक को उचित रूप से गुणा करें:

पहला पद:

`1/(cos θ sin^2 θ) = (cos θ)/(cos^2 θ sin^2 θ)`   ... (अंश और भाजक को cos θ से गुणा करें)

दूसरा पद:

`1/(sin θ cos^2 θ) = (sin θ)/(sin^2 θ cos^2 θ)`   ... (अंश और भाजक को sin θ से गुणा करें)

अब जोड़ें:

`(cos θ)/(cos^2θ sin^2θ) + (sin θ)/(sin^2θ cos^2θ) = (cos θ + sin θ)/(sin^2θ cos^2 θ)`

RHS = `sec θ . "cosec"  θ . (sec θ + "cosec" θ) = 1/(cos θ) xx 1/(sin θ) xx (1/(cos θ) + 1/(sin θ))`

कोष्ठक के अंदर सरल कीजिए:

`1/(cos θ) + 1/(sin θ) = (sin θ + cos θ)/(sin θ cos θ)`

तो RHS बन जाता है:

`1/(cos θ sin θ) xx (sin θ + cos θ)/(sin θ cos θ) = (sin θ + cos θ)/(sin^2θ cos^2θ)`

दोनों पक्ष बराबर हैं।

`(sin θ + cos θ)/(sin^2 θ cos^2 θ)`

अतः सिद्ध हुआ।