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प्रश्न
किसी परीक्षा के एक प्रश्न पत्र में प्रश्न है जो क्रमशः 5 तथा 7 प्रश्नों वाले दो खण्डों में विभक्त हैं अर्थात खंड I और खण्ड II. एक विद्यार्थी का प्रत्येक खंड से न्यूनतम उप्रश्नों का चयन करते हुए कुल 8 प्रश्नों को हल करना है। एक विद्यार्थी कितने प्रकार से प्रश्नों का चयन कर सकता है?
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उत्तर
यह दिया गया है कि प्रश्न पत्र में 12 प्रश्न होते हैं जो दो खण्डों में विभक्त होते हैं - भाग I और भाग II, जिसमें क्रमशः 5 और 7 प्रश्न होते हैं।
एक छात्र को प्रत्येक भाग से कम से कम 3 का चयन करते हुए 8 प्रश्नों का उत्तर देना है।
इसे इस प्रकार किया जा सकता है।
- भाग I से 3 प्रश्न और भाग II से 5 प्रश्न
- भाग I से 4 प्रश्न और भाग II से 4 प्रश्न
- भाग I से 5 प्रश्न और भाग II से 3 प्रश्न
भाग I से 3 प्रश्न और भाग II से 5 प्रश्न `""^5C_3 xx ""^7C_5` तरीकों से चुने जा सकते हैं।
भाग I से 4 प्रश्न और भाग II से 4 प्रश्न `""^5C_4 xx ""^7C_4` तरीकों से चुने जा सकते हैं।
भाग I से 5 प्रश्न और भाग II से 3 प्रश्न `""^5C_5 xx ""^7C_3` तरीकों से चुने जा सकते हैं।
इस प्रकार, प्रश्नों के चयन के लिए कई तरीकों की आवश्यकता होती है।
= 5C3 x 7C5 + 5C4 x 7C4 + 5C5 x 7C3
= `(5!)/(2!3!) xx (7!)/(2!5!) xx (5!)/(4!1!) xx (7!)/(4!3!) xx (5!)/(5!0!) xx (7!)/(3!4!)`
= `(5 xx 4)/(2) xx (7 xx 6)/(2) + 5 xx (7 xx 6 xx 5)/(3 xx 2) + 1 xx (7xx 6 xx 5)/(3 xx 2)`
= 210 + 175 + 35
= 420
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