Question

If x + y + z = 0, prove that `|(x"a", y"b", z"c"),(y"c", z"a", x"b"),(z"b", x"c", y"a")| = xyz|("a", "b", "c"),("c", "a", "b"),("b", "c", "a")|`

Answer 1

L.H.S. = `|(x"a", y"b", z"c"),(y"c", z"a", x"b"),(z"b", x"c", y"a")|`

[Expanding]

= xa(a²yz – x²bc) – yb(y²ac – b²xz) + zc(c²xy – z²ab)

= xyza³ – x³abc – y³abc + b³xyz + c³xyz – z³abc

= xyz(a³ + b³ + c³) – abc(x³ + y³ + z³)

= xyz(a³ + b³ + c³) – abc(3xyz)  .....[∵ x + y + z = 0 ⇒ x³ + y³ + z³ – 3xyz]

= xyz(a³ + b³ + c³ – 3abc)

= `xyz|("a", "b", "c"),("c", "a", "b"),("b", "c", "a")|`