Question

If (x + 2) is a factor of x³ + 2x² + kx − 18, find the value of k. Hence, factorise it completely.

Answer 1

Let f(x) = x³ + 2x² + kx − 18

Let x + 2 = 0

x = −2

∵ x + 2 is a factor of f(x).

∴ f(−2) = 0

⇒ (−2)³ + 2(−2)² + k(−2) − 18 = 0

⇒ −8 + 2(4) − 2k − 18 = 0

⇒ −8 + 8 − 2k − 18 = 0

⇒ −2k − 18 = 0

⇒ −2k = 18

⇒ k = −9

∴ f(x) = x³ + 2x² − 9x − 18

           x² − 7x + 9
`x + 2")"overline(x^3 + 2x^2 - 9x - 18)`
           x³ + 2x²
         −    −                          
                        − 9x − 18
                        − 9x − 18
                        +      +         
                                x          

f(x) = x³ + 2x² − 9x − 18

= x² (x + 2) − 9(x + 2)

= (x² − 9) (x + 2)

Now factor the difference of squares:

x² − 9 = (x − 3) (x + 3)

∴ x³ + 2x² − 9x − 18 = (x + 2) (x − 3) (x + 3)