Question

If a sinθ + b cosθ = c, then prove that a cosθ – b sinθ = `sqrt(a^2 + b^2 - c^2)`.

Answer 1

Given that,

a sin θ + b cos θ = c

On squaring both sides,

(a . sin θ + cos θ . b)² = c²

⇒ a²sin²θ + b²cos²θ + 2ab sin θ . cos θ = c²  ...[∵ (x + y)² = x² + 2xy + y²]

⇒ a²(1 – cos²θ) + b²(1 – sin²θ) + 2ab sinθ . cosθ = c²  ...[∵ sin²θ + cos²θ = 1]

⇒ a² – a² cos²θ + b² – b²sin²θ + 2ab sinθ . cosθ = c²

⇒ a² + b² – c² = a²cos²θ + b²sin²θ – 2ab sinθ . cosθ

⇒ (a² + b² – c²) = (a cos θ – b sin θ)²  ...[∵ a² + b² – 2ab = (a – b)²]

⇒ (a cos θ – b sin θ)² = a² + b² – c²

⇒ a cos θ – b sin θ = `sqrt(a^2 + b^2 + c^2)`

Hence proved.