Question

Factorise:

x³ – 3x² – 9x – 5

Answer 1

Let p(x) = x³ − 3x² − 9x − 5

All the factors of 5 have to be considered. These are ±1, ± 5.

By trial method,

p(−1) = (−1)³ − 3(−1)² − 9(−1) − 5

= − 1 − 3 + 9 − 5

= 0

Therefore, x + 1 is a factor of this polynomial.

Let us find the quotient by dividing x³ + 3x² − 9x − 5 by x + 1.

By long division,

            x² − 4x − 5
`x + 1) overline(x^3 - 3x^2 - 9x − 5)`
             x³ + x²
            −      −
          `overline(                                                            )`
               −4x² − 9x − 5
               −4x² − 4x
                 +       +
         `overline(                                                              )`
                          −5x − 5
                          −5x − 5
                         +      +
         `overline(                                                             )`
                                 0
         `overline(                                                              )`

It is known that,

Dividend = Divisor × Quotient + Remainder

∴ x³ − 3x² − 9x − 5

= (x + 1) (x² − 4x − 5) + 0

= (x + 1) (x² − 5x + x − 5)

= (x + 1) [(x (x − 5) + 1 (x − 5)]

= (x + 1) (x − 5) (x + 1)

= (x − 5) (x + 1) (x + 1)