Question

ΔABC यह समबाहु त्रिभुज है। बिंदु D यह रेख BC पर इस प्रकार है कि BD = `1/5` BC. सिद्ध करो कि `(AD^2)/(AB^2) = 21/25`.

Answer 1

रचना: रेख AP ⊥ भुजा BC खींचो।

उपपत्ति: ΔABC यह समबाहु त्रिभुज है।

 ∴ AB = BC = AC तथा ∠B = 60° ∠APB = 90°   ...(रचना)

∴ ∠BAP = 30°   ...(त्रिभुज का शेष कोण)

∴ ΔABP यह एक 30° − 60° − 90° का त्रिभुज है।

∴ AP = `sqrt3/2`AB   ...(60° की सम्मुख भुजा)   ...(1)

तथा BP = `1/2 AB = 1/2 BC`   ...(30° की सम्मुख भुजा, AB = BC)   ...(2)

DP = BP − BD   ...(B − D − P)

= `1/2 BC - 1/5 BC`

= `(5BC - 2BC)/10`

∴ DP = `3/10BC`   ...(3)

समकोण ΔADP में, पायथागोरस प्रमेय से,

AD² = AP² + DP²

= `(sqrt3/2 AB)^2 + (3/10 BC)^2`

= `3/4 AB^2 + 9/100 AB^2`   [...(BC = AB)]

= `(75 AB^2 + 9AB^2)/100`

∴ `AD^2 = 84/100 AB^2`

∴ `(AD^2)/(AB^2) = 84/100`

∴ `(AD^2)/(AB^2) = 21/25`