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मान लीजिए कि f : W → W, f(n) = n - 1, यदि n विषम है तथा f(n) = n + 1, यदि n सम है, द्वारा परिभाषित है | सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है | f का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए | यहाँ W समस्त पूर्णांकों का समुच्चय है |
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a * b = |a - b| तथा a o b = a, ∀ a, b ∈ R द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रियाओं * : R × R → R तथा o : R × R → R पर विचार कीजिए | सिद्ध कीजिए कि * क्रमविनिमेय है परंतु साहचर्य नहीं है, o साहचर्य है परंतु क्रमविनिमेय नहीं है | पुनः सिद्ध कीजिए कि सभी a, b, c ∈ R के लिए a * (b o c) = (a * b) o (a * c) है | यदि ऐसा होता है, तो हम कहते हैं कि संक्रिया * संक्रिया o पर वितरित होती है | क्या o संक्रिया * पर वितरित है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए |
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निम्नलिखित प्रकार से समुच्चय {0, 1, 2, 3, 4, 5} में एक द्विआधारी संक्रिया * परिभाषित कीजिए
a * b = `{(a+b"," "यदि" a+b < 6), (a + b - 6"," "यदि" a + b ≥ 6):}`
सिद्ध कीजिए कि शुन्य (0) इस संक्रिया का तत्समक है तथा समुच्चय का प्रत्येक अवयव a ≠ 0 व्युत्क्रमणीय है, इस प्रकार कि 6 - a, a का प्रतिलोम है |
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समुच्चय {a, b} में द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या है |
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यदि x, y, z शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हों तो आव्यूह A = `[(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z)]` का व्युत्क्रम है:
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निम्नलिखित फलन का समाकलन कीजिए।
`1/(xsqrt(ax - x^2))` [संकेत : x = `a/t` रखिए]
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निम्नलिखित फलन का समाकलन कीजिए।
`1/(x^2(x^4 + 1)^(3/4)`
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निम्नलिखित फलन का समाकलन कीजिए।
`1/(x^(1/2) + x^(1/3)) ["संकेत": 1/(x^(1/2) + x^(1/3)) = 1/(x^(1/3)(1 + x^(1/6))), x = t^6 "रखिए"]`
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निम्नलिखित फलन का समाकलन कीजिए।
`(5x)/((x + 1)(x^2 + 9))`
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निम्नलिखित फलन का समाकलन कीजिए।
`(sin x)/(sin (x - a))`
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निम्नलिखित फलन का समाकलन कीजिए।
`(e^(5 log x) - e^(4 log x))/(e^(3 log x) - e^(2 log x))`
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निम्नलिखित फलन का समाकलन कीजिए।
`(cos x)/sqrt(4 - sin^2 x)`
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निम्नलिखित फलन का समाकलन कीजिए।
`(sin^8 x - cos^8 x)/(1 - 2 sin^2x cos^2 x)`
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निम्नलिखित फलन का समाकलन कीजिए।
`1/(cos (x + a) cos (x + b))`
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निम्नलिखित फलन का समाकलन कीजिए।
`x^3/(sqrt(1 - x^8))`
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निम्नलिखित फलन का समाकलन कीजिए।
`e^x/((1 + e^x)(2 + e^x))`
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निम्नलिखित फलन का समाकलन कीजिए।
`1/((x^2 + 1)(x^2 + 4))`
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निम्नलिखित फलन का समाकलन कीजिए।
`cos^3 x e^(log sinx)`
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निम्नलिखित फलन का समाकलन कीजिए।
`sqrt((1 - sqrtx)/(1 + sqrtx))`
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निम्नलिखित फलन का समाकलन कीजिए।
`(2 + sin 2x)/(1 + cos 2x) e^x`
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