Question

मान लीजिए कि f : W → W, f(n) = n - 1, यदि n विषम है तथा f(n) = n + 1, यदि n सम है, द्वारा परिभाषित है | सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है | f का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए | यहाँ W समस्त पूर्णांकों का समुच्चय है |

Answer 1

f(n) = {n - 1, यदि n विषम है n + 1, यदि n सम है} द्वारा परिभाषित है | 

मान लीजिए f(m) = f(n)

जब n विषम और m सम हो तो,

n - 1 = m + 1

n - m = 2

जो की सम्बह्व नहीं है,

इसी तरह यदि n सम तथा m विषम हो तो ऐसा ही पाइनाम प्राप्त होगा। 0 अब यदि दोनों विषम हो तो,

m + 1 = n + 1

m = n

और यदि दोनों विषम हो तो,

n - 1 = m - 1

n = m

अतः f एकाकी है |

अतः स्पष्ट है की सहप्रांत w में स्थित हर विषम संख्या 2r + 1 प्रांत w में स्थित सम संख्या 2r का प्रतिबिम्ब है |

और सहप्रांत w में स्तिथ हर सम संख्या 2r प्रांत w में स्तिथ विषम संख्या 2r + 1 का प्रतिबिम्ब है। मतलब आच्छादक फलन है।

मान लीजिये g : W - W

g(m) = {m - 1, यदि n विषम है, m + 1, यदि n सम है} द्वारा परिभाषित है

जब n सम हो तो,

gof(n) = g(f(n)) = g(n + 1) = n + 1 - 1 = n

जब n विषम हो तो,

fofg(n) = f(g(n)) = g(n - 1) = n - 1 + 1 = n

अतः प्रतिलोमिया फलन है।

तथा f का प्रतिलोम f स्वयं है।