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किसी निश्चित आधार b के एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ 3 cm/s की दर से घट रही हैं। उस समय जब त्रिभुज की समान भुजाएँ आधार के बराबर हैं, उसका क्षेत्रफल कितनी तेजी से घट रहा है?
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वक्र x2 = 4y के बिन्दु (1, 2) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
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आव्यूह A = `[(2,5,19,-7),(35,-2,5/2,12),(sqrt3,1,-5,17)]` के लिए ज्ञात कीजिए:
आव्यूह की कोटि
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आव्यूह A = `[(2,5,19,-7),(35,-2,5/2,12),(sqrt3,1,-5,17)]` के लिए ज्ञात कीजिए:
अवयवों की संख्या
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एक आयत की लंबाई x, 5 cm/min की दर से घट रही है और चौड़ाई y, 4 cm/min की दर से बढ़ रही है। जब x = 8 cm और y = 6 cm है। तब आयत के क्षेत्रफल के दर ज्ञात कीजिए।
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सिद्ध कीजिए कि `f (x) = 1/x` द्वारा परिभाषित फलन f : R* → R* एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ R* सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रांत R* को N से बदल दिया जाए, जब कि सहप्रांत पूर्ववत R* ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा?
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निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए:
f(x) = x2 द्वारा प्रदत्त f : N → N फलन है।
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निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए:
f(x) = x2 द्वारा प्रदत्त f : Z → Z फलन है।
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निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए:
f(x) = x2 द्वारा प्रदत्त f : R → R फलन है।
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निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए:
f(x) = x3 द्वारा प्रदत्त f : N → N फलन है।
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निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए:
f(x) = x3 द्वारा प्रदत्त f : Z → Z फलन है।
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सिद्ध कीजिए कि f(x) = [x] द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन f : R → R, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ [x], x से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है।
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सिद्ध कीजिए कि f(x) = |x| द्वारा प्रदत्त मापांक फलन f : R → R, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ |x| बराबर x, यदि x धन या शून्य है तथा |x| बराबर − x, यदि x ऋण है।
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सिद्ध कीजिए कि f : R → R, f(x) = `{(1", यदि" x > 0), (0", यदि" x = 0), (-1", यदि" x < 0):}` द्वारा प्रदत्त चिन्ह फलन न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
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मान लीजिए कि A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7} तथा f = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)} A से B तक एक फलन है। सिद्ध कीजिए कि f एकैकी है।
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निम्नलिखित स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
f(x) = 3 − 4x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।
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निम्नलिखित स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
f(x) = 1 + x2 द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।
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मान लीजिए कि A तथा B दो समुच्चय हैं। सिद्ध कीजिए कि f : A × B → B × A, इस प्रकार कि f(a, b) = f(b, a) एक एकैकी आच्छादी (bijective) फलन है।
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मान लीजिए कि समस्त n ∈ N के लिए, f(n) = `{((n+1)/2", यदि n विषम है"),(n/2", यदि n सम है"):}` द्वारा परिभाषित एक फलन f : N → N है। बतलाइए कि क्या फलन f एकैकी आच्छादी (bijective) है। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
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मान लीजिए कि A = R − {3} तथा B = R − {1} हैं। f(x) = `((x - 2)/(x - 3))` द्वारा परिभाषित फलन f : A → B पर विचार कीजिए। क्या f एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
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