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निम्नलिखित स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
f(x) = 3 − 4x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।
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निम्नलिखित स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
f(x) = 1 + x2 द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।
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मान लीजिए कि A तथा B दो समुच्चय हैं। सिद्ध कीजिए कि f : A × B → B × A, इस प्रकार कि f(a, b) = f(b, a) एक एकैकी आच्छादी (bijective) फलन है।
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मान लीजिए कि समस्त n ∈ N के लिए, f(n) = `{((n+1)/2", यदि n विषम है"),(n/2", यदि n सम है"):}` द्वारा परिभाषित एक फलन f : N → N है। बतलाइए कि क्या फलन f एकैकी आच्छादी (bijective) है। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
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मान लीजिए कि A = R − {3} तथा B = R − {1} हैं। f(x) = `((x - 2)/(x - 3))` द्वारा परिभाषित फलन f : A → B पर विचार कीजिए। क्या f एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
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मान लीजिए कि f : R → R, f (x) = x4 द्वारा परिभाषित है। सही उत्तर का चयन कीजिए।
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मान लीजिए कि f(x) = 3x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है। सही उत्तर चुनिए:
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निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
3sin−1x = sin−1(3x − 4x3), `x ∈ [-1/2, 1/2]`
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निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
3cos−1x = cos−1(4x3 − 3x), `x ∈ [1/2, 1]`
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निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
`"tan"^-1 2/11 + "tan"^-1 7/24 = "tan" ^-1 1/2`
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निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
`2 "tan"^-1 1/2 + "tan"^-1 1/7 = "tan"^-1 31/17`
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निम्नलिखित फलन को सरलतम रूप में लिखिए:
`tan^(-1) (sqrt(1+x^2) -1)/x`, x ≠ 0
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निम्नलिखित फलन को सरलतम रूप में लिखिए:
`"tan"^-1 1/sqrt("x"^2 - 1), abs "x" > 1`
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निम्नलिखित फलन को सरलतम रूप में लिखिए:
`tan^(-1) (sqrt((1-cos x)/(1 + cos x)))`, 0 < x < π
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निम्नलिखित फलन को सरलतम रूप में लिखिए:
`tan^-1 ((cos x - sin x)/(cos x + sin x)), (-pi)/4 < x < (3 pi)/4`
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निम्नलिखित फलन को सरलतम रूप में लिखिए:
`tan^(-1) x/(sqrt(a^2 - x^2))`, |x| < a
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निम्नलिखित फलन को सरलतम रूप में लिखिए:
`tan^-1 ((3 a^2 x - x^3)/(a^3 - 3 ax^2)), a > 0; (-a)/sqrt3 < x < a/sqrt3`
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निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
`tan^-1 [2 cos (2 sin^-1 1/2)]`
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निम्नलिखित प्रश्न का मान ज्ञात कीजिए:
`"cot" ("tan"^-1 "a" + "cot"^-1 "a")`
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निम्नलिखित प्रश्न का मान ज्ञात कीजिए:
`tan 1/2 [sin^(-1) (2x)/(1+ x^2) + cos^(-1) (1-y^2)/(1+y^2)], |x| < 1, y> 0 and xy<1`
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