Question

यदि सम्मिश्र संख्या z₁ और z₂ के लिए, arg(z₁) − arg(z₂) = 0, तब दर्शाइए कि `|z_1 - z_2| = |z_1| - |z_2|`

Answer 1

`z_1 = |z_1|(costheta_1  +  isintheta_1)` और `z_2 = |z_2|(costheta_2  +  isintheta_2)`,

⇒ arg(z₁) = θ₁ और arg(z₂) = θ₂

पता है की, arg(z₁) - arg(z₂) = 0

⇒ θ₁ - θ₂ = 0

⇒ θ_{1 =} θ₂

`z_2 = |z_2|(costheta_1  +  isintheta_1)` [∵ θ_{1 =} θ₂]

इसलिए, `z_1 - z_2 = (|z_1|costheta_1 - |z_2|sintheta_1) + i(|z_1|costheta_1 - |z_2|sintheta_1)`

⇒ `|z_1 - z_2| = sqrt((|z_1|costheta_1 - |z_2|sintheta_1)^2 + (|z_1|sintheta_1 - |z_2|sintheta_1)^2)`

= `sqrt(|z_1|^2 + |z_2|^2 - 2|z_1||z_1|cos^2theta_1 - 2|z_1||z_2|sin^2theta_1)`

= `sqrt(|z_1|^2 + |z_2|^2 - 2|z_1||z_2|[cos^2theta_1 + sin^2theta_1])`

= `sqrt(|z_1|^2 + |z_2|^2 - 2|z_1||z_2|)`

= `sqrt((|z_1| - |z_2|)^2)`

⇒ |z₁ - z₂| = |z₁| - |z₂|

इसलिए, यह सिद्ध होता है कि ∣z₁ - z₂∣ = ∣z₁∣-∣z₂∣