Question

यदि sin(θ + α) = a और sin(θ + β) = b है, तो सिद्ध कीजिए कि cos2(α − β) − 4ab cos(α − β) = 1 − 2a² − 2b² है।

[संकेत: cos(α − β) = cos{(θ + α) − (θ + β) लिखिए।]}

Answer 1

ज्ञात है कि,

sin(θ + α) = a और sin(θ + β) = b

cos(α − β) = cos[θ + α - θ - β]

= cos[(θ + α) - (θ + β)]

= cos(θ + α) cos(θ + β) + sin(θ + α) sin(θ + β)

= `sqrt(1 - sin^2(theta + alpha)) sqrt(1 - sin^2(theta + beta)) + a . b`

हल करने पर:

cos(α − β) = `sqrt((1 - a^2)(1 - b^2)) + ab`

= `ab + sqrt(1 - a^2 - b^2 + a^2b^2)`

cos2(α − β) - 4ab cos(α − β) को लेकर,

cos2θ = 2cos²θ - 1 का प्रयोग करने पर

= `2[ab + sqrt(1 - a^2 - b^2 + a^2b^2)]^2 - 1 - 4ab[ab + sqrt(1 - a^2 - b^2 + a^2b^2)]`

= `2[a^2b^2 + 1 - a^2 - b^2 + a^2b^2 + 2ab sqrt(1 - a^2 - b^2 + a^2b^2)] - 1 - 4a^2b^2 - [4ab sqrt(1 - a^2 - b^2 + a^2b^2)]`

= `2a^2b^2 + 2 - 2a^2 - 2b^2 + 2a^2b^2 + 4ab sqrt(1 - a^2 - b^2 + a^2b^2) - 1 - 4a^2b^2 - 4ab sqrt(1 - a^2 - b^2 + a^2b^2)`

= `1 - 2a^2 - 2b^2`

अतः, cos2(α - β) - 4ab cos(α - β) = 1 - 2a² - 2b²

यह सिद्ध है कि cos2(α − β) − 4ab cos(α − β) = 1 − 2a² − 2b²