Question

यदि p मूल बिंदु से उस रेखा पर डाले लंब की लंबाई हो जिस पर अक्षों पर कटे अंत: खंड a और b हों, तो दिखाइए कि  `1/"p"^2 = 1/"a"^2 + 1/"b"^2`

Answer 1

यह ज्ञात है कि उस रेखा का समीकरण जिसके अक्षों पर अंतःखंड a और b हैं

`x/a + y/b = 1`

या bx + ay = ab

या bx + ay - ab = 0      .......(1)

एक बिंदु (x₁, y₁) से एक रेखा Ax + By + C = 0 की लंब की दूरी (d) d = `|Ax_1 + By_1 + C|/sqrt(A^2 + B^2)` द्वारा दी गई है।

समीकरण (1) की तुलना रेखा Ax + By + C = 0 के सामान्य समीकरण से करने पर, हमें A = b, B = a, और C = -ab मिलता है।

इसलिए, यदि बिंदु (x₁, y₁) = (0, 0) से रेखा (1) तक लंब की लंबाई p है, तो हम प्राप्त करते हैं

`p = |A(0) + B(0)-ab|/sqrt(b^2 + a^2)`

= `p = |-ab|/sqrt(a^2 + b^2)`

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है

`p^2 = (-ab)^2/(a^2 + b^2)`

= p² (a² + b²) = a²b²

= `(a^2 + b^2)/(a^2b^2) = 1/(p^2)`

= `1/p^2 = 1/a^2 + 1/b^2`.