Question

यदि एक गोले और घनाभ के पृष्ठफल समान हों, तो गोले का घनफल और घनाभ के घनफल का अनुपात `sqrt6 : sqrtπ` है, यह सिद्ध कीजिये।

Answer 1

दत्त: गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल,

उपयोग किए जाने वाले सूत्र:

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (S_s) = 4πr²,

घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (S_c) = 6a²,

गोले का आयतन (V_s) = `(4/3)`πr³,

घन का आयतन (V_c) = a³

पृष्ठीय क्षेत्रफल का उपयोग करके विमाओं के बीच संबंध:

⇒ 4π r² = 6 a²

`r/a` का अनुपात ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:

`r^2/a^2 = 6/(4π) = 3/(2π)`

∴ `r/a = sqrt(3/(2π))`    ....(समीकरण 1)

गोले के आयतन और घन के आयतन का अनुपात:

= `V_s/V_c = (4/3 π r^3)/a^3`

∴ `V_s/V_c = 4/3 π (r/a)^3`

आयतन के अनुपात में समीकरण 1 का मान रखने पर:

`V_s/V_c = 4/3 π (sqrt(3/(2π)))^3`

`V_s/V_c = 4/3 π (3/(2π)) sqrt(3/(2π))`

`V_s/V_c = 4/2 sqrt(3/(2π))`

`V_s/V_c = 2 sqrt(3/(2π))`

`V_s/V_c = sqrt(4 xx 3/(2π))`

`V_s/V_c =sqrt(12/(2π))`

∴ `V_s/V_c =sqrt(6/π)`

अतः, गोले के आयतन और घन के आयतन का अनुपात `sqrt6 : sqrtπ` है।