Question

Solve: `2tan^-1 (cos x) = tan^-1 (2"cosec"  x)`

Answer 1

`2tan^-1 (cos x) = tan^-1 (2"cosec"  x)`

`2tan^-1x = tan^-1 [(2x)/(1 - x^2)]`

⇒ `2tan^-1 (cos x) = tan^-1 [(2cosx)/(1 - cos^2x)]`

`1tan^-1 (cosx) = tan^-1[(2cosx)/(sin^2x)]`

Now, `tan^-1 (2 "cosec"  x) = tan^-1 [(2cosx)/(sin^2x)]`

⇒ `2  "cosec"  x = (2cosx)/(sin^2x)`

`1/sinx = cosx/sinx`

sin²x = sin x cos x

⇒ sin x cos x – sin²x = 0

⇒ sin x(cos x – sin x) = 0

sin x = 0 or cos x – sin x = 0

⇒ x = nπ, n ∈ z, or cos x = sin x

tan x = 1 = `tan  pi/4`

⇒ x = `"n"pi + pi/4`, n ∈ z