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प्रश्न
समांतर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEF एक ही आधार पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल बराबर हैं। दर्शाइए की समांतर चतुर्भुज का परिमाप आयत के परिमाप से अधिक है।
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उत्तर
चूँकि समांतर चतुर्भुज और आयत का आधार और क्षेत्रफल समान है, इसलिए ये भी समान समानांतर रेखाओं के बीच स्थित होंगे।
इस प्रकार समांतर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEF पर विचार करें।
यहाँ, यह देखा जा सकता है कि समांतर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEF समान समानांतर AB और CF के बीच हैं।
हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज या एक आयत की सम्मुख भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। इसलिए,
AB = EF (आयताकार के लिए)
AB = CD (समानांतर चतुर्भुज के लिए)
∴ CD = EF
⇒ AB + CD = AB + EF ... (1)
उन सभी रेखाखंडों में से जो किसी बिंदु से उस रेखा तक खींचे जा सकते हैं जो उस पर स्थित नहीं है, लंब रेखा खंड सबसे छोटा है।
∴ AF < AD
और इसी तरह, BE < BC
∴ AF + BE < AD + BC ... (2)
समीकरण (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं
AB + EF + AF + BE < AD + BC + AB + CD
आयत ABEF का परिमाप < समांतर चतुर्भुज ABCD का परिमाप
संबंधित प्रश्न
दी गई आकृति में, P एक समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु है। वो दिखाओ
(i) ar (APB) + ar (PCD) = `1/2`ar (ABCD)
(ii) ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)
[संकेत: के माध्यम से। P, AB के समांतर एक रेखा खींचिए]
एक त्रिभुज ΔABC में, E माध्यिका AD का मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि ar (BED) = `1/4`ar (ABC) है।
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आकृति में, ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D, भुजा BC का मध्य-बिंदु है। यदि AE भुजा BC को F पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि
(i) ar (BDE) = `1/4` ar (ABC)
(ii) ar (BDE) = `1/2` ar (BAE)
(iii) ar (ABC) = 2 ar (BEC)
(iv) ar (BFE) = ar (AFD)
(v) ar (BFE) = 2 ar (FED)
(vi) ar (FED) = `1/8`ar (AFC)
[संकेत : EC और AD को मिलाइए। दिखाओ कि BE || AC and DE || AB, आदि]
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD एक दूसरे को P पर काटते हैं। दर्शाइए कि ar (APB) × ar (CPD) = ar (APD) × ar (BPC) है।
[संकेत : A और C से BD पर लंब खींचिए।]
P और Q क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के मध्य-बिंदु हैं और R, रेखाखंड AP का मध्य-बिंदु है, दर्शाइए कि
(i) ar(PRQ) = `1/2` ar(ARC)
(ii) ar(RQC) = `3/8` ar(ABC)
(iii) ar(PBQ) = ar(ARC)
किसी समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजा BC पर कोई बिंदु E लिया जाता है। AE और DC को बढ़ाया जाता है जिससे वे F पर मिलती हैं। सिद्ध कीजिए कि ar (ADF) = ar (ABFC) है।
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC, DC = 30 cm और AB = 50 cm है। यदि X और Y क्रमश : AD और BC के मध्य-बिंदु हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ar (DCYX) = `7/9` ar (XYBA) है।
त्रिभुज ABC में यदि L और M क्रमश : AB और AC भुजाओं पर इस प्रकार स्थित बिंदु हैं कि LM || BC है। सिद्ध कीजिए कि ar (LOB) = ar (MOC) है।
