Question

सिद्ध करा की ‘काटकोन त्रिकोणात कर्णाचा वर्ग हा इतर दोन बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो.’

Answer 1

पक्ष: △PQR मध्ये, ∠PQR = 90°

साध्य: PR² = PQ² + QR²

रचना: बिंदू Q मधून बाजू PR वर रेख QS हा लंब काढा. P–S–R.

सिद्धता: △PQR मध्ये, ∠PQR = 90° … (दिले आहे)

काटकोन △PQR मध्ये, रेष QS ⟂ कर्ण PR … (रचना)

∴ △PQR ~ △PSQ ~ △QSR … (काटकोन त्रिकोणांची समरूपता) … (1)

△PQR ~ △PSQ … [(1) वरून]

∴ `(PQ)/(PS) = (QR)/(SQ) = (PR)/(PQ)` … (समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू प्रमाणात असतात)

∴ `(PQ)/(PS) = (PR)/(PQ)`

∴ PQ² = PS × PR … (2)

△PQR ~ △QSR … [(1) वरून]

∴ `(PQ)/(QS) = (QR)/(SR) = (PR)/(QR)` … (समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू प्रमाणात असतात)

∴ `(QR)/(SR) = (PR)/(QR)`

∴ QR² = SR × PR … (3)

PQ² + QR² = PS × PR + SR × PR … [(2) व (3) यांची बेरीज करून]

= PR(PS + SR)

= PR × PR … (P–S–R)

PQ² + QR² = PR²

∴ PR² = PQ² + QR²