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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।
प्रमेय
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उत्तर
दत्त: PA और PB, केंद्र O वाले वृत्त पर बाहरी बिंदु P से खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं।
सिद्ध: PA = PB
रचना: OA, OB और OP को मिलाइए।
उपपत्ति: ∠OAP = ∠OBP = 90° ...(त्रिज्या स्पर्शरेखा के लंबवत)
ΔOAP और ΔOBP में,
OA = OB ...(एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
OP = OP ...(सामान्य भुजा)
∠OAP = ∠OBP ...(प्रत्येक 90°)
∴ ΔOAP ≅ ΔOBP ...(RHS सर्वांगसमता)
∴ PA = PB ...(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अतः, किसी बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।
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