Question

सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।

Answer 1

दत्त: PA और PB, केंद्र O वाले वृत्त पर बाहरी बिंदु P से खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं।

सिद्ध: PA = PB

रचना: OA, OB और OP को मिलाइए।

उपपत्ति: ∠OAP = ∠OBP = 90° ...(त्रिज्या स्पर्शरेखा के लंबवत)

ΔOAP और ΔOBP में,

OA = OB ...(एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

OP = OP ...(सामान्य भुजा)

∠OAP = ∠OBP ...(प्रत्येक 90°)

∴ ΔOAP ≅ ΔOBP ...(RHS सर्वांगसमता)

∴ PA = PB   ...(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

अतः, किसी बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।