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प्रश्न
केंद्र O वाले वृत्त के बाह्य बिंदु T से दो स्पर्श रेखाएँ TP और TQ खींची गई हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠PTQ = 2∠OPQ
प्रमेय
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उत्तर
दत्त: TP और TQ एक वृत्त की दो स्पर्श-रेखाएँ हैं, जिसका केंद्र O है तथा P और Q स्पर्श-बिंदु हैं।
सिद्ध: ∠PTQ = 2∠OPQ
मान लीजिए ∠PTQ = θ है।
अब प्रमेय के अनुसार, “किसी बाहरी बिंदु से एक वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।”
अतः, TPQ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠TPQ = ∠TQP
= `1/2 (180^circ - θ)`
= `90^circ - θ/2`
प्रमेय के अनुसार, “किसी वृत्त के किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है” ∠OPT = 90°।
∴ ∠OPQ = ∠OPT – ∠TPQ
= `90° - (90° - 1/2 θ)`
= `1/2 θ`
= `1/2` ∠PTQ
अतः, 2∠OPQ = ∠PTQ.
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