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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
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उत्तर
मान लीजिए ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। A से AE ⊥ BC एवं D से DF ⊥ BC खींचिए। ABCD के विकर्ण AC और BD हैं। यहाँ AEFD एक आयत है।
समकोण ∆AEB और ∆DFC में,
∵ कर्ण AB = कर्ण DC
[समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ]
∵ भुजा AE = भुजा DF [आयत की सम्मुख भुजाएँ हैं]
⇒ ∆AEB ≅ ∆DFC [RHS सर्वांगसमता]
⇒ BE = CF …(1) [CPCT]
अधिककोण ∆DCB में ∠DCB अधिककोण है
⇒ BD2 = BC2 + CD2 + 2BC.CF .....(2) [अधिककोण उपप्रमेय से]
∵ न्यूनकोण ∆ABC में ∠ABC न्यूनकोण है
⇒ AC2 = AB2 + BC2 – 2 BE.BC [न्यूनकोण उपप्रमेय से]
⇒ AC2 = AB2 + DA2 – 2 BC.CF …(3)
[∵ BE = CF समीकरण (1) तथा BC = AD समान्तर ABCD की सम्मुख भुजाएँ हैं।]
⇒ AC2 + BD2 = AB2 + DA2 + BC2 + CD2
[समीकरण (2) + समीकरण (3) से]
⇒ AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + DA2
अतः किसी समान्तर चतुर्भुज में उसके विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
इति सिद्धम्
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