Question

सिद्ध कीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

Answer 1

मान लीजिए ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। A से AE ⊥ BC एवं D से DF ⊥ BC खींचिए। ABCD के विकर्ण AC और BD हैं। यहाँ AEFD एक आयत है।

समकोण ∆AEB और ∆DFC में,

∵ कर्ण AB = कर्ण DC
[समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ]

∵ भुजा AE = भुजा DF [आयत की सम्मुख भुजाएँ हैं]

⇒ ∆AEB ≅ ∆DFC [RHS सर्वांगसमता]

⇒ BE = CF …(1) [CPCT]

अधिककोण ∆DCB में ∠DCB अधिककोण है

⇒ BD² = BC² + CD² + 2BC.CF .....(2) [अधिककोण उपप्रमेय से]

∵ न्यूनकोण ∆ABC में ∠ABC न्यूनकोण है

⇒ AC² = AB² + BC² – 2 BE.BC [न्यूनकोण उपप्रमेय से]

⇒ AC² = AB² + DA² – 2 BC.CF …(3)
[∵ BE = CF समीकरण (1) तथा BC = AD समान्तर ABCD की सम्मुख भुजाएँ हैं।]

⇒ AC² + BD² = AB² + DA² + BC² + CD²
[समीकरण (2) + समीकरण (3) से]

⇒ AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + DA²

अतः किसी समान्तर चतुर्भुज में उसके विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

इति सिद्धम्