Question

सिद्ध कीजिए कि दो संकेन्द्री वृत्तों में, बड़े वृत्त की जीवा, जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, स्पर्श बिंदु पर समद्विभाजित होती है। अतः, बड़े वृत्त की जीवा जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है की लम्बाई ज्ञात कीजिए, यदि संकेन्द्री वृत्तों का व्यास क्रमशः 10 cm और 8 cm है।

Answer 1

दो समकेंद्रित वृत्त बनाइए जिनका केंद्र O हो।

बड़े वृत्त की एक जीवा AB खींचिए, जो छोटे वृत्त को बिंदु C पर स्पर्श करे।

सिद्ध करना है: AC = CB

छोटे वृत्त के लिए,

AB एक स्पर्शरेखा है जो उसे C पर स्पर्श करती है।

अतः ∠OCB = ∠OCA = 90° अर्थात OC ⟂ AB (प्रमेय 10.1)

बड़े वृत्त के लिए,

OC ⟂ AB

⇒ AC = CB

(केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है)

अतः सिद्ध हुआ।

OB को जोड़िए।

दिया है कि:

समकेंद्रित वृत्तों के व्यास 10 सेमी और 8 सेमी हैं।

अर्थात बड़े वृत्त की त्रिज्या = OB = 5 सेमी और छोटे वृत्त की त्रिज्या = OC = 4 सेमी।

त्रिभुज OCB में, पाइथागोरस प्रमेय से:

OC² + CB² = OB²

⇒ 4² + CB² = 5²

⇒ CB² = 25 − 16 = 9

⇒ CB = 3 सेमी

और AC = 3 सेमी

अतः बड़े वृत्त की जीवा AB की लंबाई = 3 + 3 = 6 सेमी।