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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि `2 + 3sqrt(5)` एक अपरिमेय संख्या है। दिया है कि `sqrt(5)` एक अपरिमेय संख्या है।
प्रमेय
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उत्तर
मान लीजिए कि `2 + 3sqrt(5)` एक परिमेय संख्या है।
∴ `2 + 3sqrt(5) = p/q`
जहाँ p, q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है।
`3sqrt(5) = p/q - 2`
`sqrt(5) = 1/3 (p/q - 2)`
`sqrt(5) = 1/3 ((p - 2q)/q)`
`sqrt(5) = (p - 2q)/(3q)`
चूँकि p और q पूर्णांक हैं।
∴ p – 2q भी एक पूर्णांक है, 3q भी एक पूर्णांक है।
इसका अर्थ है कि `sqrt(5)` एक परिमेय संख्या है, जो इस दी गई जानकारी के विपरीत है कि `sqrt(5)` एक अपरिमेय संख्या है।
∴ `2 + 3sqrt(5)` अवश्य ही अपरिमेय होगा।
अतः सिद्ध हुआ।
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